Научно-исследовательский проект "Теорема Пифагора и пифагоровы числа"

Научно-исследовательский проект
"Теорема Пифагора и пифагоровы числа"

Всем хорошо известна теорема Пифагора, которая в школьном курсе геометрии формулируется так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». 
Изначально у Евклида эта теорема формулировалась так: (дословный перевод): «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».
Затем  формулировка теоремы постепенно  видоизменялась. 
Теорема Пифагора  -  одна из главных и, можно даже  сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.  На  основе этой теоремы  решаются  многие  геометрические задачи,  и она является базой  для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение:  с²   =  а²+ b².
Верна и теорема  обратная теореме Пифагора.   Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.  Иначе  говоря, если числа являются решением уравнения х² + у² = z², то они являются сторонами прямоугольного треугольника,  а  целые числа, которые удовлетворяют   уравнению  х² + у²= z² получили название пифагоровы  тройки  или  пифагоровы числа.

Цель: Пополнение и обобщение знаний по  теореме  Пифагора  и изучение способа  нахождения  пифагоровых чисел.

Задачи:

1. Изучить научную  литературу,  в которой   рассматриваются  различные  способы  доказательства  теоремы  Пифагора,   и в которой  даётся способ  нахождения  пифагоровых чисел.
2. Изучить  различные способы доказательства  теоремы Пифагора.
3. Дать понятие пифагоровых  троек  и научиться находить  пифагоровы числа.

Объект изучения:   Теорема  Пифагора.  Пифагоровы числа.

Предмет исследования:  Различные способы  доказательства теоремы  Пифагора.  Нахождение пифагоровых чисел.

Гипотеза:  Можно доказать теорему  Пифагора различными  способами

и  найти  тройки чисел, являющихся  пифагоровыми  числами, если:

1. Изучить   научную литературу ,  в которой   рассматриваются  различные  способы  доказательства  теоремы  Пифагора,   и  в которой даётся способ  нахождения  пифагоровых чисел.
2. Изучить  различные способы доказательства  теоремы Пифагора.
3. Дать понятие пифагоровых  троек  и научиться находить  пифагоровы числа.

Методы исследования:
Теоретический:  изучение  научной литературы; сбор информации; анализ;  обобщение

Практический:  
практическая  работа:
доказательство теоремы  различными  способами;
составление таблицы пифагоровых чисел.

Исторические сведения
Теорема   носит имя знаменитого   древнегреческого философа    Пифагора, но  на самом деле  она  была известна ещё  в древнем  Вавилоне  по крайней мере  за  1200 лет до Пифагора.  В одном тексте, относимом   к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что задолго до Пифагора, уже  умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере,  в некоторых случаях.   Видимо Пифагор узнал об этом во время одного  из своих путешествий в Вавилон или Египет.   Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно  египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во  времена царя  Аменемхета I  (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.  Однако одни полагают, что  Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.
Голландский математик  Ван-дер-Варден сделал вывод, о том, что заслугой  первых греческих математиков, таких как  Пифагор,    является не открытие математики, а  её систематизация и обоснование, и что  в их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку.
То доказательство теоремы Пифагора, которое приведено в знаменитом учебнике древнегреческого геометра Евклида,  в дальнейшем, без существенных изменений переходило  и в другие  учебники. 
В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий.  
 
 
Различные  способы  доказательства теоремы Пифагора
Существуют самые различные способы доказательства теоремы как геометрические, так и алгебраические: метод площадей, через подобие треугольников, доказательство через равнодополняемость,  с применением аксиом  геометрии, метод разрезания и др.  Рассмотрим некоторые из них.

Теорема:  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы  равен сумме квадратов катетов.
1 способ:    Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах - по два.
 
2 способ.    Наглядный, с помощью модели:
Модель  делается из четырех одинаковых прямоугольных треугольников разного цвета, которые можно свободно перемещать в квадратной коробочке. Получится наглядное пособие для демонстрации теоремы  Пифагора, а также для тренировки воображения.

3 способ:  Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах, и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.

4 способ:
Докажем теорему Пифагора  используя свойства площадей многоугольников,  В математике все взаимосвязано. Фактически, нужно знать только формулу площади прямоугольника, чтобы вывести все остальное, необходимое для понимания и доказательства теоремы Пифагора.  Составляем большой квадрат из четырех одинаковых прямоугольных треугольников, в центре которого также получается квадрат.  По картинке видно, что площадь большого квадрата равна (a + b)² . Ведь сторона квадрата образована двумя катетами треугольников, a и b.                
Площадь фигуры, образованной четырьмя треугольниками (без внутреннего квадрата), равна площади одного треугольника умноженного на четыре,  двойка сокращается, и площадь четырех треугольников получается равной 2ab.       Площадь внутреннего    квадрата  равна c²  Чтобы запомнить доказательство, нужно представить равенство в виде зрительных образов.

5 способ: Площадь большого квадрата равна сумме площадей треугольников и маленького квадрата         
Четырёхугольник со сторонами  c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.   Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

6 способ:   Для  того  чтобы  лучше  разобраться в теореме  мы  предлагаем одно из самых понятных и простых  геометрических  доказательств  теоремы Пифагора.   Возьмём прямоугольный треугольник АВС,  с прямым углом     С.  АС и ВС – катеты треугольника, а АВ – его гипотенуза.

К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры    убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.

Предлагаем вам шуточную формулировку теоремы Пифагора.
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
 
Пифагоровы числа
Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований.  Рассмотрим теорему обратную теореме Пифагора:  «Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.  Иначе  говоря, если числа являются решением уравнения  х² + у²= z², то они являются сторонами прямоугольного треугольника. Нетрудно заметить, что числа 3, 4, 5 являются корнями данного уравнения, на самом деле  3² + 4² = 5², значит,   треугольник со сторонами  3, 4, 5 является  прямоугольным. Треугольник  с  такими  длинами сторон    называют  египетским.  Египетский треугольник является простейшим  (и первым известным). Ещё в древности  египтяне использовали такой треугольник для построения прямых углов землемерами и архитекторами,  ведь измерительных приборов  тогда ещё не было. Поступали довольно просто.
На  верёвке на равном расстоянии  друг от друга завязывали узлы.  В точке, где надо было построить прямой угол, забивали колышек, верёвку натягивали в двух  направлениях  и забивали  два колышка, один  на расстоянии равном 4  частям,  а другой  на расстоянии равном 3 частям и  получался треугольник, один из углов которого обязательно  – прямой.  Было также  замечено, что если  стороны  треугольника пропорциональны  числам 3, 4, 5   т.е.    выполняется равенство  (3n)² + (4n)²  = (5n)², то такой треугольник  также будет прямоугольным.  Прямоугольными   являются треугольники, длины которых  составляют  следующие  тройки чисел:   6, 8,10;    9, 12, 15;    12, 16, 20;   15, 20, 25   и т.д.  Возникают вопросы: А есть ли ещё  тройки чисел, удовлетворяющие уравнению  х²  + у² = z²,  кроме перечисленных?
Если есть, то  можно ли  их найти  и как?
Попытаемся ответить на эти вопросы. Поступим следующим образом: запишем подряд квадраты натуральных чисел и отделим их запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами: 
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 ,  256 ,
   3 , 5 , 7 ,   9 ,   11 ,  13 , 15 , 17 ,  19 ,   21 ,    23 ,   25 ,    27,     29,    31 ,     33
 
289 ,  324 ,  361 ,  400 ,   441,   484 , 529, 576 , 625 ….     
     35 .     37 ,    39  .   41  ,    43 ,    45    47.   49…..
Найдём во втором ряду числа, которые являются квадратами натуральных чисел.  Это  число  9 ,  а над ним стоят числа 16 и  25, а эти числа являются квадратами  чисел 3, 4. и 5, знакомая нам тройка.  Ещё одно  квадратное  число во втором ряду 25,  а над ним числа 144 и 169.  Эти числа являются квадратами чисел 5, 12, 13.  Подставим их в уравнение  х²  + у² = z², получаем 25 + 144 = 169 – верно. Значит, мы получили ещё одну тройку чисел. Следующее квадратное число 49, а над ним числа 576 и 625, являющиеся квадратами чисел 7, 24 и  25, и действительно 49 + 575 = 625. Это уже третья тройка. Эти тройки были  известны  ещё в Древнем Египте. Если  обратить особое внимание на вторую строку,   то можно  заметить, что каждое нечётное число  есть разность двух последовательных  квадратов.  Составление таких строк очень трудоёмкое занятие.  Воспользовавшись такой особенностью, можно находить  пифагоровы тройки  по формулам, которые  были известны  уже  две с половиной тысячи лет назад. Если х –  нечётное число, то у и z можно найти по формулам:
у = ; (1)    z = . (2) 
 Подставляя эти значения в уравнение х²  + у² = z²,  получим верное равенство: х²  +  ( )²    = ² ;  4х²   + х⁴  - 2х²  + 1 =    х⁴  + 2х²  + 1   Уравнение  х²  + у² = z²   будем называть уравнением Пифагора,  а его решение  - пифагоровыми  тройки.  Пифагоровы тройки  -  наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа, т.е числа  удовлетворяющие уравнению Пифагора.  При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. 
Найдём несколько значений пифагоровых троек, подставляя  нечётное значение х в формулы (1) и (2).:
если х = 3, то     у = (9 – 1) : 2 = 4,      z = (9+1) : 2 = 5;           (3, 4, 5)
если х = 5, то     у = (25-1) : 2 = 12;     z = (25 +1) : 2 = 13;      (5, 12, 13)
если х = 7, то     у = (49-1) : 2 = 24,     z =(49 +1) : 2 = 25.       (7, 24, 25)
если х = 9, то     у = (81-1) : 2 = 40,     z =(81 +1) : 2 = 42.    
( 9, 40, 41)
Обращаем внимание, что по этим формулам можно найти только некоторые тройки.  А как же найти  все пифагоровы числа?
Для этого поступаем следующим образом:
х²  + у² = z²  (3)    из уравнения  (3) выразим х², получим
х²  =  z²   -  у² , затем разлагаем  на два  множителя  х²  = (z  -  у )(z  +  у ).
Для удобства, обозначим их  следующим образом  и составим систему уравнений   (4), решая дважды эту систему методом сложения, получаем  2 z  =  2 ( ) ,  отсюда   z    =    ,  и
 2у =  2(   отсюда   у =      подставляя их в систему (4)  найдём х:  х = 2 a b. (a > b). Наименьшие значения  a и  b:   a = 2,   b = 1.
Составим часть таблицы пифагоровых чисел:
Пример:
Пусть  а = 4,  b = 2, тогда по формулам
х= 2аb;      х = 2×4×2=16,
у =   ;      = 4² - 2² = 16 – 4 = 12,
z = ;    z = 4² + 2² = 20 . Получили тройку (12, 16, 20), эта тройка в таблице должна находиться на пересечении строчки с цифрой  2 и столбца с цифрой 4  и т.д.

Таблица 1

Эту таблицу  можно расширить вправо и вниз   и таким образом найти  множество пифагоровых чисел.    
Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемессопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник,   составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами   20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.