§ 1. Предмет теории вероятностей. Классификация событий
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных событий. Её методы широко применяются в различных отраслях естествознания и техники, в теории надёжности, теории массового обслуживания.
Основными понятиями теории вероятностей являются «испытание», «случайное событие», и «элементарный исход».
Определение 1.1. Испытанием (опытом, экспериментом) называется
осуществление определённого комплекса условий, при которых происходит соответствующее явление.
Определение 1.2. Случайным событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.
Пример 1.1. Случайным событием является: выпадение «решки» при бросании монеты; выпадение шести очков при выбрасывании игральной кости.
Определение 1.3. Элементарным исходом называется каждый из возможных результатов испытания.
Пример 1.2. Пусть в ящике находится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причём два из них – красного цвета, три – синего цвета и один – белого цвета. Из ящика наудачу извлекается один шар. Обозначим случайное событие ={появление цветного шара при вынимании одного шара из ящика}. Испытание состоит в извлечении шара из ящика. Элементарные исходы обозначаются через . Возможны следующие 6 элементарных исходов: – появился шар белого цвета; – появился шар красного цвета; – появился шар синего цвета.
Все элементарные события можно разделить на достоверные, невозможные и случайные.
Определение 1.4. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти.
Пример 1.3. Если в партии находятся все стандартные изделия, то извлечение из неё стандартного изделия – событие достоверное.
Определение 1.5. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.
Пример 1.4. Если в коробке все шары зелёного цвета, то нельзя вынуть шар красного цвета; выпадение семи очков при выбрасывании игральной кости – невозможные события.
События обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: и т. д.
Определение 1.6. Случайные события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае случайные события называются совместными. Пример 1.5. Несовместными являются случайные события: попадание в мишень и промах в мишень при одном выстреле; выпадение «герба» и выпадение «решки» при одном выбрасывании монеты.
Пример 1.6. Совместными являются случайные события: попадание в мишень и промах при двух выстрелах; выпадение «герба» два раза при выбрасывании двух монет.
Определение 1.7. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта. Или иначе, случайные события образуют полную группу, если в результате испытания происходит хотя бы одно из них.
Пример 1.7. Стрелок произвёл выстрел в мишень. Обязательно произойдёт одно из событий: попадание в мишень или промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.
Определение 1.8. Два несовместных случайных события, образующих полную группу, называются противоположными.
Пример 1.8. Так, противоположными являются случайные события: выпадение «герба» и «решки» при одном выбрасывании симметричной монеты. Если одно из противоположных событий обозначить через , то другое обозначают через . Например, случайное событие ={попадание в мишень при одном выстреле}, то случайное событие ={промах при одном выстреле в мишень}.
Определение 1.9. Случайные события называются равновозможными, если нет оснований считать, что в данном испытании одно из них более возможно, чем другие.
Пример 1.9. Появление шаров красного и зелёного цвета – равновозможные случайные события, если в коробке находится одинаковое количество шаров красного и зелёного цвета. Если же в коробке шаров красного цвета больше, чем зелёного цвета, то появление шара зелёного цвета – событие менее вероятное, чем появление шара красного цвета.
§2. Классическое определение вероятности
Вероятность – одно из основных понятий науки теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Рассмотрим определение, которое является классическим.
Определение 2.1. Случай называется благоприятствующим случайному событию , если его появление влечёт за собой появление события .
Пример 2.1. Случайное событие ={выпадение в сумме семи очков при выбрасывании двух игральных костей}. Событие, заключающееся в том, что на первой игральной кости выпало шесть очков, а на второй игральной кости выпало одно очко, будет являться благоприятствующим случайному событию .
Определение 2.2. Вероятностью случайного события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события , к общему числу всевозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие
,
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; n – число всевозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Из определения вероятности вытекают основные её свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы, т.е. .
Пример 2.2. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красного цвета, 2 – зелёного цвета, остальные шары – белого цвета. Найти вероятность того,
что вынутый наугад шар будет красного цвета.
Решение:
Пусть случайное событие ={появление шара красного цвета}.
n=10 – общее число элементарных исходов, m=3 – число исходов, благоприятствующих случайному событию , тогда по определению вероятности случайного события получим .
Ответ:
Алгоритм решения задач по теории вероятностей
1) Описать суть испытания S.
2) Описать событие, вероятность которого нужно найти.
3) Определить, являются элементарные события равновозможными, несовместными и образующими полную группу событий.
4) Подсчитать общее число исходов испытания.
5) Подсчитать число благоприятных исходов.
6) Вычислить вероятность случайного события по формуле .
Пример 2.3. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается карта. Какова вероятность того, что извлеченной картой окажется «туз»?
Решение:
1) Испытание S: из колоды в 36 карт вынимается одна карта.
2) Случайное событие ={вынутая карта из колоды в 36 карт окажется «туз»}.
3) Элементарные события – извлечение любой карты из 36 карт – являются равновозможными, несовместными и образующими полную группу событий.
4) n=36, так как в колоде 36 карт.
5) Число исходов, благоприятствующих событию , m=4, так как в колоде всего 4 туза.
6) .
Ответ: .
Пример 2.4. Из набора 28 костей домино вынимается одна кость. Какова вероятность того, что вынутой окажется кость, которая является «дублем».
Решение:
1) Испытание S: из 28 костей домино извлекается одна кость.
2) Случайное событие ={вынутая кость из 28 костей окажется «дубль»}.
3) Элементарные события – извлечение любой кости из 28 костей – являются равновозможными, несовместными и образующими полную группу событий.
4) n=28, так как в наборе всего 28 костей.
5) Число исходов, благоприятствующих событию , m=7, так как в наборе 7 костей, которые имеют «дубль».
6) .
Ответ: .
Пример 2.5. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
Решение:
1) Испытание S: из 50 чисел выбирается одно число.
2) Случайное событие ={выбранное число является простым}.
3) Элементарные события – выбор любого числа из 50 – являются
равновозможными, несовместными и образующими полную группу событий.
4) n=50, так как всего 50 чисел.
5) m=15 (простые числа – 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47).
6) .
Ответ: .
§4. Основные формулы комбинаторики
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определённым условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Её формулы используют при непосредственном вычислении вероятности.
При решении задач комбинаторики используют следующие правила.
Правило суммы. Если некоторый объект может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект может быть выбран n способами, то выбрать либо , либо можно способами.
Правило произведения. Если объект можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать n способами, то пара объектов ( , ) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Определение 4.1. Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только порядком, называются перестановками и обозначают , где и называется эн-факториал.
Замечание 4.1. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; по определению полагают .
Пример 4.1. На четырёх карточках написаны буквы р, е, к, а. Сколько различных слов можно из них составить?
Решение:
Ответ: 24.
Определение 4.2. Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число размещений определяют по формуле:
Пример 4.2. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число способов, которыми можно составить расписание при выборе из 15 дисциплин.
Решение:
Ответ: 3603600.
Определение 4.3. Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называются множества, содержащие m элементов из n числа заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний определяют по формуле
Пример 4.3. Сколькими способами можно выбрать из 20 человек трёх человек на три одинаковые должности.
Решение:
.
Ответ: 1140.
§5 Задачи для самостоятельного решения.
Вариант№1
1) На пять сотрудников выделено три различных путёвки. Сколькими способами их можно распределить?
2) В условиях предыдущей задачи считаем, что все путёвки одинаковы. Сколькими способами их можно распределить?
3) Сколькими различными способами можно расставить 7 человек в очереди?
4) Библиотекарь наудачу выбирает две книги из 15 книг по математике. Какова вероятность того, что эти книги одного автора, если таких книг всего три?
Вариант№2
1) В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выделить из них два человека на дежурство, если один из них должен быть «старшим»?
2) В условиях предыдущей задачи сколькими способами можно выделить двух человек, если «старшего» быть не должно?
3) Сколько различных перестановок существует из букв слова «вода»?
4) В урне находится 3 шара белого цвета и 5 шаров чёрного цвета. Из урны вынимают три шара. Найти вероятность того, что среди них есть 2 шара белого цвета?
Вариант№3
1) Сколькими способами у сортировочной платформы можно поставить 6 вагонов различных направлений с различной расстановкой у сортировочной платформы, если на сортировочном пути ожидают подачи 12 вагонов различных направлений?
2) Из 49 номеров карточки «Спортлото» выигрывают 6. Сколькими способами это возможно?
3) Сколько различных перестановок можно получить из букв слова «абракадабра».
4) В ящике 20 болтов, из них 4 бракованных. Из ящика вынимают 7 болтов. Какова вероятность того, что среди вынутых болтов 2 будет бракованных?
Вариант№4
1) Сколько трёхзначных чисел, состоящих из разных цифр, можно составить из 10 цифр?
2) В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвуют 16 команд, причём две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?
3) На полке стоит 15 книг: 6 – в переплётах чёрного цвета и 9 – в переплётах синего цвета. Сколько существует различных положений книг, при которых книги в переплётах чёрного цвета занимают первые 6 мест?
4) Выбрасывается 3 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 17?
Вариант№5
1) Группа изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий, если на этот день недели запланированы занятия по 4 дисциплинам?
2) Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно образовать из 10 преподавателей?
3) Из цифр 0, 1, 2 и 3 составлены всевозможные четырёхзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Сколько получилось чисел?
4) Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если 5, взятых наугад, образцов соответствуют стандартам, то партия товара поступает на реализацию. В очередной партии 8 единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию?
Вариант№6
1) Сколькими способами можно сшить трёхцветный флаг, если имеется 5 различных цветов и одна из полос должна быть красного цвета?
2) Из колоды в 52 карты вынимают 10 карт. Сколько есть возможностей вынуть хотя бы одного туза?
3) Из цифр 0, 1, 2 и 3 составляются четырехзначные числа, при чём все составляющие цифры различны. Сколько всего чисел?
4) На предприятии 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смене занято 3 инженера, состав смены формируется случайным образом. Какова вероятность того, что в смене окажется не менее 2 мужчин.
Вариант№7
1) В урне имеется 10 шаров, помеченных номерами от 1 до 10. Из урны вынимают три раза по шару, записывают номер вынутого шара и возвращают шар в урну. Сколько существует возможностей того, что все номера окажутся разными?
2) Из колоды в 36 карт вынимают 9 карт. Сколько есть возможностей вынуть 3 дамы?
3) На полке стоят 5 книг в чёрных переплётах и 15 книг в синих. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги в синих переплётах стояли рядом?
4) На базу поступило 40 ящиков овощей, из них 30 – первого сорта. Для проверки наудачу берут два ящика. Какова вероятность того, что: а)оба ящика содержат овощи первого сорта; б) разного сорта; в) одного сорта?
Вариант№8
1) Сколько существует телефонных номеров по 6 цифр?
а) состоящих из различных цифр; б) возможны повторения цифр.
2) В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Все они выходят на разных этажах. Определить сколько возможных способов?
3) Сколько существует способов сформировать состав из 15 вагонов, чтобы на первых 4 местах стояли почтово-багажные вагоны, а затем 8 пассажирских, а в конце – плацкартные?
4) Из колоды в 36 карт извлечено 6. Какова вероятность того, что среди вынутых карт оказалось три туза?
Вариант№9
1) Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, французского, английского, немецкого, итальянского на любой другой из 5 языков?
2) У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение пяти дней подряд она выдаёт по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
3) Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы в слове «ингредиент».
4) Какова вероятность того, что наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует первому числу месяца? (Год считается не високосным).
Вариант№10
1) Сколькими способами можно выбрать из полной колоды в 52 карты по одной карте каждой масти, чтобы среди вынутых карт не было не одной пары одинаковых (то есть двух королей, двух десяток и так далее).
2) На конференции присутствуют 52 человека. Надо выбрать делегацию в составе 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?
3) В холодильнике лежат 2 яблока, З груши, 4 апельсина. Мама выдает дочке каждый день по фрукту. Сколькими способами это можно сделать?
4) Из ящика, содержащего жетоны с номерами от 1 до 55, участники жеребьевки вытягивают жетоны. Определить вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 2.
ЛИТЕРАТУРА
1) Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. Москва: Высшая школа, 2000.
2) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – 12-е изд., перераб. – М.:Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. – 479 с.
3) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей. –М.: Высш.шк., 2002.
4) Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. 2 ч. – М.:Высш.шк., 2006.
5) Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543с.
6) Луценко А.И. Теория вероятностей: учебник / А.И. Луценко. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 251с. – (Высшее образование).
7) Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под общ. ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 656 с.
8) Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2006. – с.
9) Фадеева Л. Н., Жуков Ю.В., Лебедев А. В. Математика для экономистов: теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения. – М.: Эксмо, 2007. – 336 с.
|
