Научно-исследовательский проект «Исследование пропорций в геометрических формах» - Математика и информатика - Детские исследовательские проекты - Обучение и развитие - ПочемуЧка

Введение
На протяжении нескольких лет я продолжаю исследовать геометрические свойства фигур. Моя первая научная работа на конференции в 1 классе была посвящена изучению геометрических свойств кристаллов. Второе исследование, проведенное во 2 классе, заключалось в изучении геометрических форм сложных фигур.
Просматривая результаты своих предыдущих исследований, я обнаружил интересную закономерность в пропорциях разных частей объектов. Отношение сторон, рассматриваемых мной фигур, всегда было равно числу 1,618 (Рис.1). Великий математик, Фибона́ччи еще в 1202 году обнаружил эту закономерность и назвал ее «золотым сечением» или «золотой серединой». В последствии полученное Фибона́ччи число назвали в его честь, как число «ФИ».
Я решил продолжить свои научные исследования и выяснить, какие еще фигуры окружающего нас мира обладают пропорцией, и что таит в себе число 1,618, которое я получил при делении.

Цель работы - выполнить исследование пропорций в геометрических формах объектов.

Задачи исследования:
1. Выбрать сложные геометрические формы искусственных и природных объектов для проведения экспериментов.
2. Выполнить измерения линейных размеров тестовых объектов и обнаружить пропорцию числа 1,618.
3. Выполнить эксперимент по обнаружению пропорциональности в строении тела человека.
4. Проверить гипотезу о присутствии числа «Фи» в пропорциях современных архитектурных объектов.

Основная часть
Для проведения эксперимента я собрал разнообразные интересные факты. Оказывается, строение раковины головоногого моллюска наутилус подчиняется пропорции: соотношение каждого витка спирали к предыдущему равно 1,618. Семена подсолнечника располагаются по спиралям против часовой стрелки и соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру следующей равно 1,618 (Рис. 2) [3].
Я обратился к математике, где сразу же обнаружил данную закономерность. Чи́сла Фибона́ччи - элементы последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…..[2].
При делении последующего числа на предыдущее мы все точнее и точнее будем получать число «ФИ» - 1,618. Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи «золотого деления» или «золотой середины» в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду, как арифметическому выражению закона золотого деления, делая новые открытия и создавая свои творения [1].
В качестве объектов исследования в течение целого года я выбирал и фотографировал различные уникальные объекты (Рис. 3):
-   представителей живой и не живой природы;
-   архитектурно-исторические достопримечательности;
-   произведения искусства и предметы древности.
Для выполнения расчетов по определению пропорций между различными частями геометрических форм объектов я использовал их фотографии. Для точного определения размера части объекта (в условных единицах длины) я применял программный продукт CorelDraw (Рис. 3).
В ходе исследований я измерил длину колец на панцире черепахи. Длина первого кольца панциря черепахи в 1,618 раз меньше длины следующего за ним более широкого кольца (Рис. 4).
Длина динозавра от виска до бедра в 1,618 раз больше, чем длина от бедра до передней лапы (Рис. 5).
Пропорция «золотая середина» мною была обнаружена во всех размерах элементов древних кувшинов (Рис. 6).
Даже при измерении древних статуй кошек, найденных в гробницах Римских императоров, я получил пропорцию «золотой середины» (Рис.7).
Отношение высоты здания Гранд Опера в Париже к высоте первых двух этажей тоже равно 1,618 (Рис.8).
Даже тело человека заключает в себе пропорциональность, равную 1,618 (Рис.9). Мой рост составляет 150 см, а расстояние от ступней ног – (А), до середины живота – (Б) 93 см. Таким образом, пропорция моего тела равна 1,6….
Для подтверждения этой теории были проведены измерения и вычислены пропорции строения тел моих одноклассников, результаты сведены в таблицу 1.
Если в таблице 1 вычислить среднее значение полученных пропорций тел пяти участников эксперимента, то получится число «ФИ» - 1,618.
Следующим шагом в исследовании являлась проверка гипотезы о пропорциональном соотношении размеров геометрических форм в современной архитектуре. Самое узнаваемое в мире сооружение – Эйфелева башня.
Использовалась ли великим Эйфелем при проектировании башни золотая пропорция? Если поделить расстояние между «ногами» башни 124,9 м на длину первого этажа 74,24 м. получится число 1,68.
При делении высоты башни – 325 м. на высоту второго этажа 115,73 м. получается 2,8.
При делении высоты второго этажа 115,73 м. на высоту первого этажа 57,63 получается число 2… Неужели в пропорциях Эйфелевой башни не используется «золотая середина», (Рис. 10)? Можно сделать предположение, что для нахождения «золотого сечения» и числа «Фи» необходимо применить специальные средства для обнаружения пропорциональности. Одним из таких средств является фрактальная самоподобная решетка, (Рис. 11).
«Фрактал» - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон прямоугольника становится видно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.
Одним из самых простых способов создания самоподобных геометрических множеств является рисование пунктирной линии из угла прямоугольника и продолжение линии при условии что угол падения равен углу отражения.
Для создания математического фрактала выберем прямоугольник со сторонами 89 и 144 см. Частное этих чисел самым первым приближается к числу «ФИ». Произведем геометрические построения, (Рис. 12). Из анализа пропорциональности выделенных с помощью фрактальной решетки элементов Эйфелевой башни следует что число «ФИ» являлось основой при проектировании ее вида и размера (Рис. 13). Фрактальная решетка может помочь понять замыслы многих великих архитекторов и строителей. Даже Храм Василия Блаженного в Москве хранит в своем архитектурном ансамбле магическую пропорцию золотой середины (Рис. 14).

Заключение
В результате проведенных исследований были обнаружены пропорции в геометрических формах объектов. Мной сделаны следующие выводы:
1.   Многие предметы, которые созданы руками человека, хранят в себе принцип «золотой середины», число «ФИ» - 1,618.
2.   Все природные объекты строятся по принципу «золотой середины», и в пропорциях длин форм объектов присутствует число «ФИ» - 1,618.
3.   Строение тела человека подчинено пропорции «золотой середины».
4.   Выполнена проверка гипотезы о присутствии числа «ФИ» в пропорциях современных архитектурных объектов.
Знания, полученные мною в результате данной исследовательской работы, имеют для меня большое практическое значение. Сейчас я знаю, как нарисовать или сконструировать любой предмет с идеальным сочетанием пропорций, а эти навыки я применяю каждый день, как в учебе, так и в играх. Кроме того, я стал лучше понимать красоту как природных объектов, так и объектов, созданных человеком, потому что, во-первых я всегда ищу в них «золотую середину», во-вторых, мысленно фантазирую, дорисовываю пропорциональные формы.
В дальнейшем, я планирую продолжать исследовать геометрические свойства фигур. В следующем году я более подробно обращусь к теме свойств подобия и фрактальности объектов живой и неживой природы.